Trabajo Práctico N° 3 "Haciendo geometría"

En este trabajo práctico tabajamos sobre la construcción de los puntos notables del triángulo, utilizando el programa GeoGebra.
Además se presenta un  triángulo isósceles y un  triángulo equilátero, marcando en ambos  el incentro, baricentro y ortocentro. 

Por último para cerrar con el tema se realiza la  construcción del Teorema de Napoleón, en GeoGebra.

Teorema de Napoleón

En geometría, el teorema de Napoleón es un resultado sobre triángulos equiláteros; se le atribuye a Napoleón Bonapart (1769-1821), si bien no hay pruebas tangibles de que sea el verdadero autor. Aparece publicado en el calendario The Ladies' Diary de 1825, es decir cuatro años después su muerte.

El Teorema de Napoleón dice así: "Si tomamos cualquier triángulo y sobre cada uno de sus lados levantamos un triángulo equilátero uniendo los centros geométricos de estos tres triángulos equiláteros nos sale un nuevo triángulo que también es equilátero".

Demostración 

Por construcción, al efectuar sobre el triángulo MCL una rotación de 30° centrada en C, seguida de una homotecia de razón √3, los puntos M y L se transforman en A y X, por lo que el segmento AX es igual a raíz de tres veces el segmento ML. Dado que los triángulos YCB y ACX se obtienen uno a partir del otro por una rotación centrada en C de un ángulo de 60°, resulta que los segmentos AX y YB son iguales. Aplicando el mismo razonamiento a los triángulos MAN y NBL, esta vez tomando como centro de rotación los puntos A y B y las homotecias correspondientes, se establece que los segmentos AX, YB y CZ son iguales entre sí y que guardan la misma relación entre cada uno de sus lados con la longitud de los lados del triángulo MNL (raíz cuadrada de 3). Lo cual prueba que el triángulo MNL es equilátero.